MAADISON - Modèles par apprentissage automatisés pour la surveillance des ouvrages névralgiques | FEREC 2020

29 L’application de la détection de points de changement par maximum de vraisemblance pénalisé, couplée à des tests statistiques a posteriori (cf. Paragraphes IV.B.1 et IV.B.2) met en avant le potentiel de cette approche mais aussi quelques limites, not amment liées au fait que les résidus d’un modèle par IA, même après transformation, ne satisfont pas l’ensemble des tests statistiques a posteriori. Une approche complémentaire est introduite dans le paragraphe suivant, mettant directement à profit la présence de plusieurs modèles pour un seul capteur. III.C. Démarche de « test multivarié » III.C.1. Principes La distribution des T² de Hotelling est une distribution de probabilité multivariée étroitement liée à la distribution de Ficher. Elle est connue pour être la distribution d'un ensemble de statistiques d'échantillons qui sont des généralisations naturelles des statistiques sous-jacentes à la distribution de Student : on l’apparente ici à un test de Student multivarié. L’objectif est ici de tester un changement de moyen ne conjointement sur plusieurs résidus de modèles, ce qui a l'avantage de combiner les signaux, en les pondérant naturellement via les écarts-types de chaque résidu. III.C.2. Définition du test On définit la longueur de part et d’autre autour d ’un point de la sé rie ( ) , − l ’intervalle de mesures compris sur [ − − 1; − 1] et + l’intervalle de mesures compris sur [ ; + ] : l’objectif est alors d’appliquer le test en défilant selon . Soient et deux vecteurs aléatoires gaussiens de dimension suivant une même distribution normale de covariance Σ . Les vecteurs et sont connus sur et échantillons. Le test revient à vérifier si les deux moyennes empiriques ̅ et ̅ , sont égales : 0 (moyennes égales), et 1 (moyennes différentes). Le test est construit comme la variable : ² = + ( ̅ − ̅ ) Σ̂ −1 ( ̅ − ̅ ) (12) On montre que sous l'hypothèse 0 et à une normalisation près, le test suit une loi de Fisher : = + − −1 ( + −2) ² ~ ( , + − − 1) (13) Avec : Σ̂ = ( −1)Σ̂ +( −1)Σ̂ + −2 (14) Où Σ̂ et Σ̂ représentent les covariances empiriques. Le test consiste à estimer les moyennes et covariances empiriques, puis à calculer . On retient 1 si la probabilité de dépasser est inférieure à une valeur fixée . La p-value est alors donnée par ( ≥ ) = 1 − ( ) , avec ( ) désignant la fonction de répartition de la loi de Fisher considérée. La mise en œuvre est réalisée à l'aide d'une fenêtre glissante de longueur 2 = 2 = 2 autour d’un point . En supposant un changement de moyenne en avec des moyennes µ 1 et µ 2 , pour un point > l’écart µ entre les moyennes s’écrit : µ = (µ 2 − µ 1 ) −( − ) (15) Une relation similaire existe pour < . Enfin, si | − | ≤ , on a : µ = (µ 2 − µ 1 ) −| − | (16)