MAADISON - Modèles par apprentissage automatisés pour la surveillance des ouvrages névralgiques | FEREC 2020

26 Pour une séquence = ( 1 , 2 , . . . ) , un point de changement se produit dans cette série lorsqu’il existe un instant {2,3, . . . − 1} tel qu’une ou plusieurs propriété (s) statistique(s) des intervalles [ 1 ; ] et [ ; ] sont différentes. Ce tte définition peut être généralisée à l’existence de points de changements { 1 , 2 , . . . } qui définissent + 1 segments consécutifs [1; 1 ], [ 1 ; 2 ], . . . [ −1 ; ], [ ; ] entre lesquels les propriétés statistiques changent consécutivement. Considérer l’identification des points de changements comme un problème d’optimisation contraint par points de changement revient à minimiser la fonction de contraste pénalisée suivante (Lavielle [2005]) : ( , ) + ( ) (3) Avec : - la fonction de contraste utilisée pour localiser les points de changement, - le terme de pénalité, dépendant du nombre de segments + 1 , - le coefficient pondérateur entre la fonction de contraste et le terme de pénalité. Cette approche repose sur une estimation par maximum de vraisemblance. Soit un paramètre de que l’on souhaite estimer, pour une variable aléatoire discrète on définit : ( ; ) = ( = ) (4) Avec la loi de probabilité discrète de . La vraisemblance ℒ de au vu des observations ( 1 , 2 , . . . ) est alors définie par : ℒ( 1 , 2 , . . . ; ) = ( 1 ; ) × ( 2 ; ) ×. . .× ( ; ) = ∏ ( ; ) =1 (5) Les paramètres contenus dans et la fonction de contraste dépendent de la nature du changement statistique considéré pour la détection de points de changement. Dans le cadre du projet, trois natures de changements statistiques sont considérées : Le changement de moyenne locale : dans ce scénario (exemple théorique de la Figure 21), la variance 2 sur chaque intervalle est supposée constante (égale à 2 , variance de la série complète), chaque segment est supposé stationnaire, et la moyenne µ sur chaque intervalle varie entre deux intervalles consécutifs. On a ainsi les expressions suivantes : = (µ 1 , . . . , µ +1 , 1 , . . . , , 2 ) (6) ( 1 , . . . , ) = ∑ ∑ ( − µ )² = −1 +1 =1 (7) Figure 21 Illustration de la détectio n d’un changement de moyenne .